a) Ecuación General:
Partimos de la ecuación continua la recta:
Quitamos denominadores:
Trasponemos términos:
Transformamos:
Y obtenemos la ecuación general de la recta.
Las componentes del vector director son:
La pendiente de la recta es:
Ejemplo:
Escribe la ecuación general de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5).
Calcular la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = −2.
b) Forma Punto Pendiente:
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje OX.
Pendiente dado el ángulo
Pendiente dado el vector director de la recta
Pendiente dados dos puntos
Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo.
Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ángulo.
Cálculo de áreas en el plano cartesiano
Sea A1 , A2 , A3 , ...., Un un polígono de “n” lados cuyos vértices nombrados en sentido anti-horario, tiene como coordenadas :
…
Entonces el área de la región poligonal correspondiente, es el valor absoluto de la expresión:
Obsérvese en la determinante se repite, al final, el primer par ordenado correspondiente a la coordenada de
De donde:
Sustituyendo:
I D
Ejemplo:
A = (2;3)
B = (5;1)
C = (9;4)
D = (8;7)
E = (4;7)
8
7 E D
6
5
4 C
3 A
2
1 B
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
…
Entonces el área de la región poligonal correspondiente, es el valor absoluto de la expresión:
Obsérvese en la determinante se repite, al final, el primer par ordenado correspondiente a la coordenada de
De donde:
Sustituyendo:
I D
Ejemplo:
A = (2;3)
B = (5;1)
C = (9;4)
D = (8;7)
E = (4;7)
8
7 E D
6
5
4 C
3 A
2
1 B
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ángulo de inclinación y pendiente de una recta
El ángulo de inclinación de un segmento, es el ángulo que forma el segmento o su prolongación con el eje X, medido en sentido anti horario y considerando al eje X como lado inicial.
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas. Se denota con la letra “m”.
Cálculo de la pendiente
Pendiente dado el ángulo
Pendiente dado el vector director de la recta
Pendiente dado dos puntos
Pendiente dada la ecuación de la recta
Ejemplo: La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2;1), B(4, 7) es:
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas. Se denota con la letra “m”.
Cálculo de la pendiente
Pendiente dado el ángulo
Pendiente dado el vector director de la recta
Pendiente dado dos puntos
Pendiente dada la ecuación de la recta
Ejemplo: La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2;1), B(4, 7) es:
Ángulo de inclinación y pendiente de una recta
El ángulo de inclinación de un segmento, es el ángulo que forma el segmento o su prolongación con el eje X, medido en sentido anti horario y considerando al eje X como lado inicial.
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas. Se denota con la letra “m”.
Cálculo de la pendiente
Pendiente dado el ángulo
Pendiente dado el vector director de la recta
Pendiente dado dos puntos
Pendiente dada la ecuación de la recta
Ejemplo: La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2;1), B(4, 7) es:
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas. Se denota con la letra “m”.
Cálculo de la pendiente
Pendiente dado el ángulo
Pendiente dado el vector director de la recta
Pendiente dado dos puntos
Pendiente dada la ecuación de la recta
Ejemplo: La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2;1), B(4, 7) es:
División de un segmento en una razón dada
Dividir un segmento AB en una relación dada “r” es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en una relación “r”:
Ejemplo 1: Calcular los puntos P y Q que dividen al segmento de extremos A(-1; -3) y B(5; 6) en tres partes iguales.
Ejemplo 2: Hallar las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, −2) es el punto medio de AC, A(−3, 1).
Ejemplo 1: Calcular los puntos P y Q que dividen al segmento de extremos A(-1; -3) y B(5; 6) en tres partes iguales.
Ejemplo 2: Hallar las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, −2) es el punto medio de AC, A(−3, 1).
Distancia Entre Dos Puntos
Ejemplo: Calcular la distancia entre los puntos: A(2;1) y B(-3;2).
Punto medio de un segmento
Punto medio o punto equidistante, en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos.
Ejemplo: Calcular las coordenadas del punto medio del segmento AB.
Punto medio de un segmento
Punto medio o punto equidistante, en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos.
Ejemplo: Calcular las coordenadas del punto medio del segmento AB.
Par Ordenado
Es el conjunto de de dos elementos que se ubican en el plano cartesiano.
(x ; y) donde: x: abscisas , y: ordenadas
Los puntos del eje de abscisas tienen por lo tanto ordenada igual a 0, así que serán de la forma (x;0), mientras que los del eje de ordenadas tendrán abscisa igual a 0, por lo que serán de la forma (0;y).
El punto donde ambos ejes se cruzan tendrá por lo tanto distancia 0 a cada uno de los ejes, luego su abscisa será 0 y su ordenada también será 0. A este punto, el (0;0), se le denomina origen de coordenadas.
(x ; y) donde: x: abscisas , y: ordenadas
Los puntos del eje de abscisas tienen por lo tanto ordenada igual a 0, así que serán de la forma (x;0), mientras que los del eje de ordenadas tendrán abscisa igual a 0, por lo que serán de la forma (0;y).
El punto donde ambos ejes se cruzan tendrá por lo tanto distancia 0 a cada uno de los ejes, luego su abscisa será 0 y su ordenada también será 0. A este punto, el (0;0), se le denomina origen de coordenadas.
Definicion
Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas.
Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son:
1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que verifican # dicha ecuación.
Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son:
1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que verifican # dicha ecuación.
Introducción:
La estadística se puede definir como la ciencia que recopila, organiza, analiza e interpreta la información numérica o cualitativa, mejor conocida como datos, de manera que pueda llevar a conclusiones válidas. Hay dos tipos:
· La estadística descriptiva: recopila, organiza e interpreta la información numérica ó cualitativa.
· La estadística inferencial: interpreta información de manera que pueda llevar a conclusiones válidas.
Población:
Es la totalidad de los elementos del grupo particular que se estudia. Como por ejemplo, una empresa que está llevando a cabo un estudio a todos los 350 empleados de la empresa. En este caso la población es todos los empleados de la empresa, sus 350 empleados
Muestra:
Es una parte de la población seleccionada de forma que puedan hacerse inferencias de ella con respecto a la población completa. Por ejemplo, la empresa del ejemplo anterior escogerá 100 empleados de los 350 para hacerles un estudio. Esto es una muestra ya que el total de empleados es 350, se escogió a 100 para hacerse inferencias del resto.
Tipos de Datos:
1. Variables cuantitativas: son las variables que pueden medirse, cuantificarse o expresarse numéricamente. Las variables cuantitativas pueden ser de dos tipos:
· Variables cuantitativas continuas: si admiten tomar cualquier valor dentro de un rango numérico determinado (edad, peso, talla).
· Variables cuantitativas discretas: si no admiten todos los valores intermedios en un rango. Suelen tomar solamente valores enteros (número de hijos, número de partos, número de hermanos, etc).
2. Variables cualitativas: representan una cualidad o atributo que clasifica a cada caso en una de varias categorías. La situación más sencilla es aquella en la que se clasifica cada caso en uno de dos grupos (hombre/mujer, enfermo/sano, fumador/no fumador). Son datos dicotómicos o binarios.
Medidas de Tendencia Central:
1. Media: es la suma de los valores de los elementos dividida por la cantidad de éstos. Es conocida también como promedio, o media aritmética.
Media Poblacional = µ =Z x/n
Z= sumatoria
µ = media
N = número de elementos
X = valores o datos
Media Muestral: x = Z x/n
Ejemplo: Calcule la media de los siguientes números:
10, 11, 12 , 12 , 13
1. Sumar las cantidades: < 13 =" 58">
2. Dividir la suma por la cantidad de elementos: <>
3. El resultado es la media: <11.6>
Por lo tanto, la media de los 5 números es 11.6. Note que la media resulta un número que está entre el rango de elementos; en este caso, 11.6 está entre 10, 11,12 y 13.
2. Mediana: es el valor del elemento intermedio cuando todos los elementos se ordenan.
Fórmula de la mediana:
Mediana = X[n/2 +1/2] La parte de [n/2 + 1/2] representa la posición.
- Donde X es la posición de los números y n es el número de elementos.
Ejemplo: Buscar la mediana de los siguientes números:
2 4 1 3 5 6 3
Primero, hay que ordenarlos:
1 2 3 3 4 5 6
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 (Las posiciones de los números)
Mediana = X[7/2 + ½]
X[3.5 + .5] <>
X4 <>
----->Por lo tanto, la mediana es 3.
Nota: Si el número de elementos es impar, la mediana es el número del elemento intermedio. Si el número de elementos es par, se hace el cómputo mostrado en el ejemplo siguiente:
Buscar la mediana de:
15, 13, 11 , 14 , 16 , 10 , 12 , 18
Como el número de elementos es par, hay que utilizar los dos números intermedios.
10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16, 18 (ordenados)
13 y 14
Ahora, para buscar la mediana:
1. Sumar ambos números. <13 14 =" 27">
2. Dividirlo entre 2. < 2 =" 13.5">
3. El resultado es la mediana. <>
3. Moda: es el valor que se presenta el mayor número de veces.
Ejemplo 1: Buscar la moda de:
5 12 9 5 8 7 1
Como la moda es el número que más se repite, la moda es 5.
Ejemplo 2: Buscar la moda de:
14 16 18 16 15 12 14 14 16 18 20 16 16
El 14 se repite 3 veces.
El 18 se repite 2 veces.
El 16 se repite 5 veces.
Por lo tanto, la moda es 16.
Ejemplo 3: Buscar la moda de:
23 35 45 33 47 31 29 22
Como ningún número se repite, no tiene moda.
La Variancia:
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.
La Desviación Estándar:
La desviación estándar o desviación típica (σ) es una medida de centralización o dispersión para variables de razón (ratio o cociente) y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva.
Se define como la raíz cuadrada de la varianza. Junto con este valor, la desviación típica es una medida (cuadrática) que informa de la media de distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable.
Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las medidas de tendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación que representan los datos en su distribución respecto de la media aritmética de dicha distribución, con objeto de tener una visión de los mismos más acorde con la realidad a la hora de describirlos e interpretarlos para la toma de decisiones.
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